Převedení diferenciální rovnice na soustavu ODR 1. řádu

Lehký příklad, ale nějak se v tom ztrácím. Poradíte? :-)

Attachments:

1 answer

Bobosharif S. Contact

Oznacime dy/dx=z, pak d^2y/dx^2=dz/dx, S toho dostaneme systemu

dz./dx+yz=kz,
dz./dx=z

nebo
z'+(y-k)z=0
y'-z=0
Tp je systema 2 roznice a dva nezname funkce (y a z)

Comments:

MILAN K.

Asi těžko, jelikož nelze položit kz=kx, z toho by pak byla rovnost z=x, jenže položili jsme z = y´= dy/dx. Čili máme rovnic z´+z*y=k*x a substituci z=y´. Co je samotné z, to by byl integrál z y´, jenže tu neznáme, tu chceme vyřešit.

MILAN K.

Navíc, je to speciální diferenciální rovnice 2. řádu typu f(x,y´,y´´), kde se sice udělá substituce z=y´= dy/dx, avšak, y´´ není pouhé z´, ve skutečnosti platí že z je funkcí y, kde y je funkcí x, čili z = z(y(x)), potom y´´ = dy´(x)/ dx = dz(y(x)) / dx = dz(y(x))/dy * dy(x) / dx = z´(y(x)) * z(y(x)), zkráceně tedy y´´ = z´*z, y´= z, potom dostaneme: y´´ + y*y´= kx, po dosazení máme z´*z + z*y = kx , čili obdrželi jsem diferenciální rovnici prvního řádu a toto je nutno teprve řešit.

Send your question Send your question