Author's photo
UniBSmith \.
matematika - vš

Derivace a práce s funkcemi

Dobrý den, nevím si rady s dvěma příklady.
1) f(x)=arcsin((x^2 -1)/x) - Def. obor, zjistit spojitost, kde se nachází derivace,..průběh fce

2) f(x)=x*sin(1/x) na intervalu (0,1) najít max a minima a zda lze udělat derivaci ( jak si poradit s oscilujcí fcí)

Za odpovědi a rady děkuji

2 odpovědí
1) Definiční obor je oblast x, kde funkce existuje, tzn stačí udělat podmínky existence výrazu. X nesmí být nula (je ve jmenovateli zlomku).
Def. obor je od -1 do 1, ale bez nuly. Doporučuji podívat se na graf, arcsin se totiž definuje jenom od -1 do 1.
Protože je funkce složená ze základních funkcích, je na celém svém def. oboru spojitá, tzn na <-1,0) a (0,-1>.
Derivace a průběh už je složitější, to by bylo v mém podání na dlouhé a složité vysvětlování, snad to někdo jiný zvládne líp.

2) Maxima a minima se hledají pomocí derivace. Vezme se první derivace výrazu funkce a hledá se, na kterých intervalech je kladná a na kterých záporná.
Kladná derivace znamená rostoucí funkci, záporná klesající. V bodech, kde derivace vychází nulová je tzv lokální extrém. To jsou maxima a minima.
Jestli je daný extrém maximum nebo minimum se dá poznat podle chování funkce v okolí. Pokud mám kladnou derivaci na nějakém intervalu, tzn rostoucí funkci, pak je bod, kde je derivace nulová, je to maximum. Pokud by v intervalu před daným extrémem funkce klesala, bude to minimum.

Tak snad to aspoň trochu pomohlo :)
Tak diferencovatelná tahle je viz obrázek. Extrémy se fakticky hledají podle geometrických vlastností grafu té funkce (i pro více proměnných v E(N)) , takže extrém v pravém slova smyslu musí mít v příslušném bodě tečnu rovnoběžnou s osou x, což je to, čemu se říká položit 1. derivaci = 0 a vůči té tečně graf buď na obě strany jen roste nebo jen klesá. Další geometrickou vlastnost vyjadřuje druhá derivace, která fakticky reprezentuje křivost grafu a projevuje se kladnou či zápornou hodnotou, případně nulou, takže když je druhá derivace nulová, jako zde, je v daném bodě inflexní bod a jelikož velikost vektoru x´´ reprezentuje poloměr křivosti, tak křivost je pochopitelně v inflexu nulová a prostě je druhá derivace v něm rovna nule, v ostatních bodech je nenulová a vyjadřuje konkrétní poloměr oskulační kružnice, který v inflexu je dán oboustrannou tečnou (= kružnice o nulové křivosti a nekonečném poloměru) a při přechodu přes inflex se mění znaménko té druhé derivace. Také může nastat případ, kdy je první derivace i druhá derivace = 0, pak to není v pravém slova smyslu extrém, ale inflexní bod, kde vlastně splývají dvě tečny, totiž tečna v rámci první derivace která je běžnou tečnou ke grafu (ta první derivace) a ta druhá tečna, kterou "nevidíme" protože s ní splývá je vlastně nekonečně veliký poloměr oskulační kružnice, který se jeví jako ta samá tečna.
Přílohy:
Answer image
Komentáře:
MILAN K.
ad2) Tak derivace y = x * sin(1/x) jde samozřejmě udělat, jenže položení podmínky y´=0 vede na řešení rovnice y´= sin (1/x) - (1/x) * cos (1/x) = 0 , po úpravě tg(1/x) = 1/x. Druhá derivace jde také, zjistit, vede na výraz y´´ = - (1/x^3)*sin(1/x). Nicméně na intervalu <0,1 > protne osu X v x=1/pi, potom mezi bodem x=0,x=1/pi se bude nahušťovat v nekonečně mnoha vlnách k bodu x=0 a oscilovat mezi y=+1, y=-1, např, v x=2/3pi,2/5pi..2/(2n+1)pi. V x=0 nemá limitu.
MILAN K.
Ta část "Nicméně ... " platila pro funkci y = sin (1/x). Funkce y = x * sin(1/x) v x=0 má limitu =0 a mezi bodem x=0 a x=1/pi se bude zhušťovat v nekonečně mnoha vlnách, ale jejich "výška" se bude blížit nule.Mezi x=1/pi až do x=nekonečno konkávně roste stále pomaleji k hodnotě y=1 v nekonečnu, takže přímka y=1 je její vodorovná asymptota