Matematika - posloupnosti

Dobrý den, mohl by mi prosím někdo poradit s následujícími otázkami (viz. obrázek)?
Předem děkuji

Přílohy:

2 odpovědí

Daniel N. Kontaktovat

Příklad 1 zkusím vysvětlit na a). Za malé n nejprve dosadíme číslo 1 a vyjde nám rovnice: a2 = a1 + 5 (a1 = -7), takže a2 = -7 + 5 = -2. Za n nyní dosadíme číslo 2 a stejným postupem zjistíme, že a3 = a2 + 5 (a2 = -2), takže a3 = -2 + 5 = 3. Obdobně až do pátého členu.

Potom si z prvních dvou členů zjistíme diferenci [a2 - a1 = d, -2 - (-7) = 5] a dosadíme do obecného vzorce pro n-tý člen: a(n) = a1 + (n-1) * d.

N-tý člen = -7 + (n-1) * 5 = - 7 + 5n - 5 = -12 + 5n (výsledek)

MILAN K. Kontaktovat

Dá se to vyšetřovat také jako monotonie funkce, prostě diskrétní veličinu i el. N nahradíme spojitou x el. R a derivací můžeme zjistit, zda je jí odpovídající funkce ryze monotónní či nikoliv a dále, jakou má limitu. Zde tu limitu ve všech případech tvoří asymptota. Poslední posloupnost je fakticky posloupnost ai=0 pro každé i el. N, čili je to obdoba fuunkce f(x) = 0, tedy y=0 čili přímo osa X (na kterou nanášíme indexy těch členů), prostřední posloupnost alternuje vlivem znaménka a podle znaménka konverguje k +1 nebo - 1, ta první je monotonní klesající a N tý člen konverguje k 1 . Vlastně ta posloupnost je obdoba funkce, kde argumentem té "funkce" alias posloupnosti je ten index a "funkční" hodnotou toho indexu je ten člen posloupnosti. Jen se jedná o diskrétní veličinu (ten index).

Přílohy:

Komentáře:

MILAN K.

Tak bohužel s diferencemi obecně odvodit řadu jen tak "nejde". Konkrétně proto, že ne každá posloupnost je jen aritmetická či geometrická (a obecně může být dána velmi složitě) a konkrétně v případě b) se jedná vlastně o dvě geometrické posloupnosti do sebe vnořené, čili pro N lichá budeme mít řadu 4, 16 , 64, 256, 1024 , čili 2^(2k), pro N sudá budeme mít řadu -1 * 2^(2k+1), čili -8, -32 , -128 , -512, -2048 atd. Takže se navíc prostřídávají znaménka a pouhé použití diferencí ad hoc by

MILAN K.

vedlo k tomu, že bychom zjistili, že se diference rozbíhají a nevedou k řešení. Takže je nutno řadu "rozdělit" a vyšetřit, jak se chová pro konkrétní indexy. Dokonce v obecném případě se může jednat i o více než dvě do sebe "zapletené řady" a zjistit obecný člen pak není vůbec jednoduché.

MILAN K.

c) členy budou 1,2,6,24,120,720 čili je to faktoriál (jednoduchý), tedy aN = N! a obecně ten je dán gama funkcí, gama (N) = (N-1)! . Takže c) není ani aritmetická posloupnost, ani geometrická, ale fakticky gama funkce pro N celá.

Pošli tvoji otázku Pošli tvoji otázku