Integrace funkce sin(2x) se může provést
a) přímou integrací jako -1/2 * cos(2x) + C, neboť derivací této primitivní funkce dostaneme požadovaný výsledek
b) nebo metodou substituční, kdy zavedeme novou proměnnou t = 2x a tedy dt = 2 dx , z toho plyne, že dx = 1/2 * dt
potom dostáváme integraci výrazu sinx (t) * (1/2) * dt
výsledkem je -1/2 * (-cos (t)) + c
a po vrácení původní proměnné je výsledek
-1/2 * cos(2x) + C

S pozdravem,

Pavel Šimůnek

Dobry den.
Zavedte substituci t = 2x, potom dt = 2dx. Dostanete tedy 1/2 integral sin t dt, coz uz je tabulkovy integral.

Jednoduse pres linearni substituci.
1/2*(-cos 2x) + c.

Pouzil jsem vzorec pro linearni substituci.
integral f(ax + b)dx = 1/a * F(ax + b) + c

integral sin2xdx = -(1/2)cos2x

Zavedeme substituci: 2X = z z toho dx = dz/2
a dosadíme 1/2 sin z dz, z toho integrál je -1/2 cos z, t.t. -1/2 cos 2x

Lze zintegrovat dvěma způsoby a pokaždé nám vyjde však jiná funkce, první je, že se učiní u=2x, du/2=dx, pak máme integrál sin u * 1/2 du = 1/2 integrál sin u du = 1/2 * -cos u = -1/2 * cos 2x.
Ale také jde toto: integrál sin2x * dx rozepíšeme jako integrál 2*sin x * cos x * dx = 2 integrál sin x * cos x * dx. položíme u = sinx, du = cos x dx, pak máme 2 * integrál u * du = 2 * 1/2* u^2 = 2/2 * u^2 = 1* u^2 = u^2 = (sin x)^2 = sin^2 x. Čili v prvním případě vyšlo -1/2*cos 2x, v druhém případě nám vyšlo sin^2 x. Obojí je ale stejně dobře, to proto, že když zderivujeme první výsledek, obdržíme -1/2 * -sin 2x * 2 = sin 2x.
V druhém případě když zderivujeme (sin x)^2 = sin^2 x, dostaneme 2*sinx * cos x = sin 2x. Čili dvě různé primitivní funkce, ale se stejnou derivací
Čili integrál z funkce sin 2x mohou být dvě různé funkce, obě mají ale společné to, že mají stejnou derivaci, tedy (-1/2*cos 2x) ´= -1/2 * - sin 2x * 2 = sin 2x
((sin x)^2)´ = 2 sin x * cos x = sin 2x