Author's photo
Zrušený účet
matematika

Jak se vyřeší rovnice (sin x)^2006 + (cos x)^2006 = 1

Prosím neumíte vyřešit někdo rovnici (sin x)^2006 + (cos x)^2006 = 1, nikdo ze třídy to neví.

2 odpovědí
Dobrý den, podle mě si stačí uvědomit kdy by bylo možné, aby tento výsledek vyšel :) Tudíž podle mě je jedním řešením když x = pi :) rešeních je nekonečně mnoho :) kvuli periodě.. stačí aby jedno vyšlo 1 a druhe 0 :) pak vzdy vyjde vysledek bude roven 0 :) Tudíž vraťme se k tomu kdy x = pi :) kde sin(pi) = 0 a na 2006 je to porad nula.. cos(pi) je -1 a na 2006 je to 1.. a tudíž dostanete 0+1 = 1 :)
Komentáře:
Denča D.
*vyjde vysledek a bude roven 1
Tak co se týče kořenů takovéto rovnice, tak jistěže, jeden na první pohled zřejmý je x=0 resp. pi, což je ale fakticky jeden základní kořen, ale také pi/2, jenže to je rovnice vysokého stupně a ta má obecně tolik kořenů, kolik je stupeň algebraické rovnice, takže je jich daleko více a navíc, jelikož je obecného stupně, má také komplexní kořeny, které asi nepožadujeme .
Kdybychom například měli rovnici (sinx)^4 + (cosx)^4 = 1, tak kořeny, když pomineme periodu, jsou 0, pi, ale také pi/2 a samozřejmě jejich opakující se perioda, přičemž fakticky, jelikož jsme ji převedli na rovnici druhého stupně, tak má kořeny dva, tedy pi, pi/2 , resp. 0 a pi/2 (jelikož 0 je totéž, co pi+pi, čili stačí uvažovat buď nulu plus násobky pi, nebo pi plus násobky pi, jen jedno z toho). Takže odpověď na tuto otázku je velmi složitá. Spočívala by v rozepsání výrazu (sinx)^2 = (1-cos2x)/2, (cosx)^2 = (1+cos2x)/2 a v okolnosti, že se v rovnici budou vyskytovat mocniny výrazu (cos2x) a uvědomit si, že některé členy se navzájem vyruší. Bohužel ne "všechny" a vyjde rovnice stupně n/2, čili může mít klidně 1003 kořenů včetně těch na pohled zřejmých.Takže, nevím sice, z jaké školy jako má být onen příklad, ale asi pan učitel nedomyslil počet možných kořenů. Zkrátka, pokud jako chtěl, aby studenti "přišli" na to, že odpověď je pi, tak to je bohužel velmi, velmi zjednodušená úvaha neodpovídající složitosti rovnice. Není to ani náhodou tak jednoduché. Zde to znamená řešit rovnici stupně (cos2x)^1003 plus mnoho dalších členů s vysokými mocninami. Na závěr pak x = arccos(výraz)/2, ovšem v rámci všech 1003 kořenů. Navíc, jelikož od 5. stupně včetně již obecné řešení není v "radikálech", tedy vyjádřitelné konečným počtem výrazů s odmocninami, tak lze řešit jen přibližnými metodami s dostatečnou přesností.