Dobry den, davate sem docela pekne priklady:)
Ad 1) Bazi rozumime linearne nezavislou mnozinu vektoru, ktera zaroven generuje dany prostor. Jinymi slovy kazdy vektor daneho prostoru lze vyjadrit jako linearni kombinaci techto vektoru, ktere jsou zaroven vzajemne nezavisle (zadny z vektoru baze nelze vyjadrit pomoci zbyvajicich). V prvnim prikladu bazi prostoru V lze volit jednoduse jako {1, x, x^2, x^3}, z cehoz lze pomoci linearni kombinace evidentne sestavit libovolny polynom stupne nejvyse 3.

Pro podprostor W, kde jsou polynomy vazane do bodu -2, uz nemuzeme do baze dat konstantu, nebot bychom pomoci ni mohli polynomy libovolne posouvat mimo bod -2 (tzn by neplatilo f(-2) = 0). Staci tedy vzit zbyle 3 polynomy a posunout je do bodu -2. Baze tedy muze byt napriklad {x+2, (x+2)^2, (x+2)^3}. Vsechny prochazi bodem -2, tedy i jejich linearni kombinace timto bodem prochazi. Zaroven jsou linearne nezavisle.

Ad 2) Nechce se mi to ciselne pocitat, nicmene nastinim o co jde a dle meho nejjednodussi zpusob reseni. Z5^2x2 je prostor matic typu 2x2 nad telesem Z5, tj matic 2x2, kde jsou cisla 0-4, operace pocitame modulo 5. Tento prostor ma dimezi 4, jeho baze ma 4 prvky. Zadane baze B, C maji jen 3 prvky (u baze B je to primo dane, u baze C je to proto, ze matice prechodu A je 3x3), tzn. podprostor V, ktery baze B, C generuji, je nejaky o dimenzi mensi podprostor v prostoru Z5^2x2. Kazdy vektor z V (tj kazdou matici 2x2 z V) lze vyjadrit pomoci linearni kombinace jak vektoru baze B, tak baze C. Nechci to komplikovat zavadenim linearnich zobrazeni mezi vektorovymi prostory a jejich reprezentace pomoci matic, takze jen prakticky: ve sloupcich matice prechodu A jsou koeficienty linearnich kombinaci vektoru baze B vyjadrenych pomoci vektoru baze C. Tedy pokud oznacim vektory baze C jako w1, w2, w3 a ukolem je najit prave tyto vektory w1, w2, w3 (pozor, jsou to matice 2x2). pak kdyz vezmu prvni vektor v1, tak jeho koeficienty vzhledem k bazi C lezi v prvnim sloupci A. Konkretne v1 = 2w1 + 0w2 + 3w3. Podobne v2 = 1w1 + 1w2 + 2w3 a konecne v3 = 0w1 + 2w2 + 4w3, cimz mame 3 rovnice. Pokud si je rozepisete slozku po slozce, dostanete rovnice, ze kterych w1, w2, w3 vypocitate.

Pokud by vam to nebylo jasne, dejte mi vedet do zprav, rozepisu to na papir...

Zdravi
FK