Ahoj, pro vyšetření průběhu funkce je zapotřebí spočítat:
1) limity funkce v nekonečnech, případně bodech, kde není funkce definována (to tu nehrozí)
2) hodí se nulové body
3) první derivaci a její nulové body - lokální extrémy
4) druhou derivaci a pomocí ní
a) specifikovat extrémy
b) najít inflexní body a určit konvexnost/konkávnost funkce

Ad (a)
1) Limity jsou "dosazovací", nedefinované body neexistujou.
2) Pro výpočet nulových bodů přidám nápovědu f(x) = x^2*(x^2-1) + 2x*(x^2-1) = (x^2-1)*(x^2+2x)
3) Derivace polynomu je jednoduchá (d/dx (x^n) = n*x^(n-1)), Jedním z řešení je (-1/2), zbylá dostaneme jako řešení kvadratické rovnice po vydělení polynomem (x+1/2).
4) Znovu zderivujeme a dostaneme polynom druhého stupně. Dosadíme hodnoty z předchozího bodu a vyhodnotíme extrémy. Když je f'(x) = 0, je to extrem. Pro f"(x) < 0 je to maximum, pro f"(x)>0 je to minimum. pro f"(x) = 0 je potřeba si vyhodnotit znaménko první derivace vlevo a vpravo od extrému.
Pro f"(x) = 0 máme inflexní body, pro f"(x)<0 máme konkávní tvar ("A"), pro f"(x)>0 máme konvexní tvar ("U").

Ad (b)
1) Pro tyto limity je potřeba vzít předpoklad abs(sin(x)) <= 1 a pak lze snadno dořešit.
2)Vyřešit rovnici x = sin(x) má jediné řešení x=0
3) Derivací dostaneme 1-cos(x).
4) Druhou derivací dostaneme sin(x)
Vyhodnotíme jako v předchozím případě.

Ad (c)
1) Pro tuhle limitu (x^2-1)/e^x buď použijeme l'Hospitalovo pravidlo, nebo znalost, že a^x > x^n pro libovolné kladné a,n a x> x_0, nebo rigorózně Taylorovým rozvojem pro e^x = 1+\sum_{k=1 to inf} (x^k)/k!, takže si e^x rozepíšeme do "dostatečného" (třetího) řádu a vytkneme x^2.
2) Nulové body dostaneme x rovnice x^2 = 1
3) Derivace součinu je d/dx (f*g) = f' * g + f * g', d/dx(e^(-x)) = -e^(-x).
4) Druhá derivace analogicky a vyhodnotíme jako výše.