Děkuji za dotaz, tak určitě nebude platit, že výška z vrcholu M na stranu AB bude 1/2 z 1/3 té výšky vrcholu A na stranu AB tedy 1/2 z 1/3 vc.
Bude platit, že AB je rovnoběžné s LK, dále výška toho lichoběžníku ABKL je 1/3 výšky vrcholu C na stranu AB, dále že KL = 2/3 AB, tedy že plocha LKC je plocha ABC * (2/3)^2 tedy P(ABC) * 4/9 = P(LKC), ale bude také platit, že AM/AK = BM/BL, tedy že bod M dělí BK na úsečky ve stejném poměru jako ten samý bod M dělí AK na úsečky stejného poměru, tedy KM/MA = LM/MB a dále také bude platit, že ve stejném poměru, jako je AM/AK, detto BM/BL bude i poměr úseček, které jsou kolmé na AB a prochází bodem M, čili od paty kolmice na AB k bodu M bude nějaká vzdálenost (třeba označme jako w) a ta bude vůči 1/3 výšky C na AB ve stejném poměru, jako od AM/AK, resp. BM/BL, tedy w / (1/3 vc) = AM/AK = BM/BL. Já Vám to nějak početně odvodím pro zvolený konrétní trojúhelník a pak zobecněně, třeba kde AB bude jednotková strana = 1, asi nejlépe v souřadnicích, dá se dobře vyjádřit ten bod M a pak snadno plocha (třeba jako determinant v E2)

Máte odvození pro rovnostranný trojúhelník, je to jednodušší, ale platí to pro každý, tím že je rovnostranný, tak je automaticky jednotkový a všechny úhly stejné, takže se snadno vše odvozuje a hlavně je tam dobře vidět, proč se tam objeví ty pětiny, protože jednotková strana - ((jednotková strana/3) * cos 60) = 5/6 a dále protže tg úhlu v tom "malém trojúhelníku je poměr (odm ze 3/6) / (5/6), tak se tam dostane již jen ta 1/5 a právě v tom poměru je výška M nad AB vůči (1/3 výšky C nad AB) a tím je dáno automaticky zmenšení plochy ABM vůči ABC