To samotné p ve výrazu p(t,s) není parametr, parametrem je t, s, kde t je zdvih, s je otočení, zde o 360°(o d 0 do pi) ten závit (tedy body jež tvoří tu závitovou plochu) se z úrovně -3 zdvihne na úroveň +3, to p(t,s) je vlastně ta vekotrová funkce plochy (musí být pochopitelně v E(3) být dána třemi parametry, v E(4) by byly tři atd. do vyšších rozměrů) , kde body plochy vznikají dosazením různých hodnot t, s. Čili výsledkem p(t,s) je nějaký bod P = p(t,s), který leží na té ploše, To, co máte modře vyjádřeno, je tedy vlastně ta vektorová funkce té závitovým pohybem vzniklé plochy. Podívám se, co s tím.

Dobrý den, tady posílám výsledek a postup od umělé inteligence:


Dobrý den! Rád vám s tímto příkladem pomohu.

Nejprve si označme parametrický popis paraboly k. Budeme potřebovat tři parametrické rovnice, jednu pro každou souřadnici x, y a z.

Předpokládejme, že parametrem pohybu je t. Potom parametrický popis paraboly k může vypadat následovně:

x(t) = at^2 + bt + c
y(t) = dt + e
z(t) = ft + g

Víme, že vrchol paraboly je V[0; -2; 3]. Dosazením těchto hodnot do parametrického popisu dostaneme:

x(0) = 0a + 0b + c = c = 0
y(0) = 0d + e = e = -2
z(0) = 0f + g = g = 3

Takže rovnice pro parametrický popis paraboly k jsou:

x(t) = at^2 + bt
y(t) = dt - 2
z(t) = ft + 3

Další informace, kterou máme, je že parabola prochází bodem O[0; 0; 0]. Dosazením těchto hodnot do parametrického popisu paraboly získáme:

x(0) = 0a + 0b = 0
y(0) = 0d - 2 = 0
z(0) = 0f + 3 = 0

Z druhé rovnice dostáváme d = 0, což znamená, že osa paraboly je rovnoběžná s osou y.

Nyní se podíváme na šroubový pohyb křivky m. Levotočivý šroubový pohyb je obvykle popsán takto:

x(u) = x(t) * cos(u) - y(t) * sin(u)
y(u) = x(t) * sin(u) + y(t) * cos(u)
z(u) = z(t)

V našem případě víme, že o = z, takže můžeme nahradit z(t) za o:

x(u) = (at^2 + bt) * cos(u) - (dt - 2) * sin(u)
y(u) = (at^2 + bt) * sin(u) + (dt - 2) * cos(u)
z(u) = o = z(t) = ft + 3

Nyní můžeme zvolit parametr u tak, aby odpovídal jednomu závitu plochy. V textu je uvedeno, že v = 8. To znamená, že jedno plné otočení kolem osy paraboly odpovídá u = 2π, protože obvod kruhu je 2πr = 2π(8) = 16π a hodnota v určuje, kolik takových obvodů plocha obsahuje.

Pokud zvolíme u = 2π, můžeme upravit rovnice pro parametrický popis plochy:

x(2π) = (a(0)^2 + b(0)) * cos(2π) - (d(0) - 2) * sin(2π) = 0
y(2π) = (a(0)^2 + b(0)) * sin(2π) + (d(0) - 2) * cos(2π) = (d - 2)
z(2π) = ft(2π) + 3

Jelikož z(2π) = z(0) = o = z, dostáváme:

ft(2π) + 3 = o

Tím jsme získali parametrický popis plochy, která vznikne šroubovým pohybem křivky m. Rovnice jsou:

x(u) = (at^2 + bt) * cos(u) - (dt - 2) * sin(u)
y(u) = (at^2 + bt) * sin(u) + (dt - 2) * cos(u)
z(u) = ft + 3, kde ft splňuje rovnici ft(2π) + 3 = o