Anonymous author

Vektory

Tápu v postupu následující úlohy. Prosím o pomoc.
Dohledal jsem si vztah pro těžiště T= 1/3 *(A+B+C)
V trojúhelníku ABC je dáno těžiště T [-2; 4; 3 ]. Bod P[-2; 3; 1] je střed strany AB a bod Q [-4; 2; 2 ] je střed strany BC. Určete souřadnice vrcholů A,B,C.

3 answers

MILAN K. Contact

Je to jednoduché, v E3 tedy pomocí Q T spočíst vrchol A, máme P, tak tedy pomocí A,P vrchol B, pomocí P, T vrchol C a je hotovo , viz níže, to samé by fungovalo třeba v E(N>3)

Attachments:

Comments:

MILAN K.

Ten příklad byl vymyšlený tak,aby ty body dané v E3 ležely zaručeně v rovině a jelikož ty dané T,P,Q jsou jen tři,tak zaručeně v rovině,obecně v E3 "položené" tedy leží,cokoliv z těch tří daných bodů nějak odvozované pouhým připočítáváním vektorů k nim bude v té samé rovině ležet také,tedy i ty vrcholy ABC,uhnout od té roviny nemohou,také se dá zařídit,aby když jsou jen v rovině (všech 6, dané i odvozené), jak se "zbavit" té třetí souřadnice, aby byly v E2 a stále to bude ten samý trojúhelník

Edward Y.

Druhý řádek plyne z toho, že těžiště dělí těžnici AQ v poměru 2:1. To se dá odvodit třeba z rovnice pro těžiště v dotazu. :)

Edward Y. Contact

Víme, že T je těžiště, takže T = 1/3(A+B+C). Podobně P, Q jsou středy nějakých stran a to znamená P=1/2(A+B) respektive Q= 1/2(B+C). To jsou celkem tři rovnice o třech neznámých. Každá neznámá je sice trojice, ale postup vypadá úplně stejně jako u normální soustavy rovnic. Já jsem si to napsal do matice, viz níže, ale to je jen pro přehlednost, zkuste si to v rovnicích!

Attachments:

Comments:

MILAN K.

Neznámých nejsou tři ale 9, protože hledáme XA,YA,ZA, XB,YB,ZB,XC,YC,ZC, (to je 9 ks souřadnic) takže to je součin modelové matice (3,3) (s těmi třetinami a polovinami dle polohy) a matice s těmi (3,3) devíti poptávanými souřadnicemi a to se rovná matici opět s (3,3) devíti danými souřadnicemi. Takže vlastně máme vztah A * h =L, kde A je ta modelová matice, h je matice (ne třípoložkový vektor) souřadnic, které poptáváme a L je matice (ne tři položkový vektor) s devíti danými souřadnicemi.

MILAN K.

Potom inversní matice k té modelové A, tedy A-1 * matice s danými souřadnicemi dá matici s poptávanými souřadnicemi, tu inversi lze u jednoduchých případů (jako tento) řešit současně s tou maticí daných souřadnic, která se vlastně automaticky z tvaru (A , L) mění na (E, A-1*L) (E (nebo jako I) je jednotková)

Edward Y.

A pointa? Píšete to stejné co já, jen složitě.