Dobrý den, to co máte na papírku je předpoklad indukce. Pro n=1 viditelně platí: 1=(1*(1+1))/2. Dále si ukážeme, že jestliže indukce platí pro n, tak platí také pro n+1. Tedy 1+2+...+n+(n+1) se musí rovnat ((n+1)*(n+1+1))/2 = ((n+1)*(n+2))/2. Za součet prvních n členů 1+2+...+n dosadím předpoklad indukce tedy: po dosazení bude (n*(n+1))/2 + (n+1) = ((n+1)*(n+2))/2. Teď stačí vhodné úpravy a dokážeme, že předchozí rovnost platí. Tedy levá strana: (n^2 + n + 2*n + 2)/2 = (n^2 + 3*n + 2)/2 = (trojčlen rozdělím na součin dvou vhodných dvojčlenů a hodí se mi z předpokladu součin (n+1)*(n+2) a to se po roznásobení opravdu rovná (n^2 + 3*n + 2)) (n+1)*(n+2)/2. Ale to je rovno pravé straně rovnice, kterou jsme chtěli dokázat. Tím je indukce dokázána.