Anonymní autor

Průměry

Dobrý den, mohl by mi někdo pomoct s touhle úlohou.

V základní škole U Tří dubů, kam chodí i Zikmund, každoročně pořádají vědomostní
soutěž, v níž každý soutěžící může získat nejvíce 15 bodů. Letos byl průměrný bodový
zisk soutěžících zaokrouhlený na desetiny roven 10,4. Zikmund si po soutěži uvědomil, že
jednu otázku si špatně přečetl a odpovídal na něco jiného. Mohl tak mít o 4 body více
a průměrný bodový zisk zaokrouhlený na desetiny by se tím zvýšil na 10,6.
Určete, kolik nejméně a kolik nejvíce dětí letos U tří dubů soutěžilo.

Předem děkuji za odpověď

2 odpovědí

Štěpán O. Kontaktovat

Průměr je počet všech bodů vydělený počtem dětí. To, že se nějak zaokrouhluje, znamená, že musí splňovat dvě nerovnosti, které jsou označeny jako 1, 2 a 3, 4. Ty pak spolu nakombinujeme a získáme výsledek.

Přílohy:

Komentáře:

Anonymní autor

Dobrý den, mohl byste mi to prosím vysvětlit slovně?

Štěpán O.

Průměr je celkový počet bodů, který značím b, děleno celkovým počtem dětí, které značím d. Zadání říká, že b/d má být po zaokrouhlení na desetiny rovno 10,4. Ale která čísla jsou po zaokrouhlení na desetiny rovna 10,4? To jsou přesně ta čísla, která jsou větší nebo rovna 10,35 (protože cokoliv menšího nebude po zaokrouhlení na desetiny rovno 10,4) a ostře menší (tedy menší, ale ne rovna) 10,45. Protože 10,45 už se zaokrouhlí na 10,5. (Bude pokračovat)

Štěpán O.

(Pokračování). No, takže to, že průměr má být po zaokrouhlení na desetiny roven 10,4 přesně znamená, že musí platit ty nerovnosti, které jsem označil jako (1) a (2). Další část zadání říká, co se stane, když Zikmund dostane o 4 body více. Neboli co se stane, pokud se při stejném počtu dětí d zvýší počet bodů b o 4. Tedy hovoří o průměru (b+4)/d. Uděláme úplně stejnou úvahu a přepíšeme to pomocí nerovností, které jsem označil jako (3) a (4). Tím jsme si přepsali zadání a jdeme na řešení.

Štěpán O.

Trik je, že se zbavíme neznámé b. Použijeme nerovnost 4 a zjistíme, že 10,55 je menší nebo rovno než (b+4)/d, což se dá přepsat jako b/d+4/d. Prostě součet zlomků. Nyní se podíváme na nerovnost 2 a zjistíme, že b/d je menší než 10,45. Takže místo b/d napíšu 10,45 a 4/d jen opíšu, s tím nedělám nic. Teď se podívám na pravou stranu a úplně levou stranu, což dává nerovnost 10,55<10,45+4/d. Odečtu 10,45 od obou stran nerovnosti a získám 0,1<4/d, což už upravím jako v řešení. Tím získám, že počet dět

Štěpán O.

je menší, ale NE ROVEN 40, neboli, je jich nejvýše 39. Nyní provedu stejný postup v tom druhém puntíku, akorát se použijí nerovnosti 4 a 1; s nerovností 4 začnu, opět pak roztrhnu (b+4)/d na součet zlomků a na b/d použiju nerovnost 1 a 4/d opíšu. Pak se opět podívám na úplně levou a úplně pravou stranu toho řetězu nerovností a vidím, že 10,65>10,35+4/d. Upravím to jako v řešení a získám, že dětí bylo alespoň 14. Pak už jen napíšeme odpověď a příklad je hotov.

Štěpán O.

Jo pozor je tam chyba: je třeba vyzkoušet, že 14 a 39 vyhovují podmínkám úlohy. Po drobném hraní si zjistíme, že 14 vyhovuje, ale 39 nikoliv. Proto zkusíme 38, a to už vyjde. Děkuji panu Milanovi K. za opravu. Pro bližší detaily vizte diskusi pod jeho komentářem.

MarX

Zdravím. Chtěl bych se zeptat, proč 39 nevyhovuje. Já jsem si to ověřil tak, že jsem dal (39*10,449+4):39=10,551, což je zaokrouhleno 10,6, tudíž by 39 vyhovovalo.

MILAN K. Kontaktovat

Poněkud přehledněji :

Aby se to dalo řešit, tak musí být pochopitelně na pravé straně alespoň jeden nenulový člen, takže nemá smysl se zabývat relacemi (1-2) , (3-4)

Přílohy:

Komentáře:

MILAN K.

Přičemž relace (1-2) nemá nenulové hodnoty na pravé straně (abs. člen) a relace (3-4) i když má na pravé straně oba nenulové abs. členy, je zase lineárně závislá.

Štěpán O.

Nemyslím si, že máte pravdu. Totiž opomíjíte fakt, že těch maximálních hodnot se podle pravidel pro zaokrouhlování nemůže nabývat. Skutečně, pokud by dětí bylo 40, musely by získat 414-417 (ale ne 418) bodu, aby byl po zaokrouhlení průměr 10,4. Podobně po zvýšení o 4 body zjistíme, že by počet bodů musel být 422-425, ale to není možné: neodpovídá to zvýšení o 4 body žádné z předchozích hodnot.

MILAN K.

Velmi se mýlíte, ten příklad je fakticky chucpe, tedy nedomyšlený. Jenže jste to nepostřehl. Například, ačkoli Vám vyjde, že min N = 13 , max N=39, mne třeba 40 tak ani pro jedno takové N neexistuje takový součet S ani S zvětšený o 4, aby se dle pravidel o zaokrouhlování zaokrouhlil "patřičně". Takže, neplatí to ani pro N=13, ani pro N=39, ani pro N=40 ale i pro další čísla z toho intervalu. Např. N= 13 tak 135/13 dá sice 10.38 = 10.4, ale (135+4) dá 10.69 a to je mimo.

MILAN K.

Detto N=39: např. 407/39=10.44, (407+4)/39=10.54 opět mimo (jeden ano, druhý ne) nebo 408/39=10.46, (408+4)/39=10.56 opět mimo (sedí druhý, ale ne první) N = 40 jste sám zhodnotil, že opravdu nesedí. Takže jaké je tedy nejmenší a největší číslo N, pro které to sedí: Např. N=14, pak 145/14=10.36 a také (145+4)/14=10.64 , takže nejmenší číslo,které vyhovuje je teprve 14. A největší, např. N=38 , pak 397/38=10.447, (397+4)/38= 10.553, obojí souhlasí.

MILAN K.

Já jsem to vnímal, že to jde v nejlepším případě pouze přibližně. Je tu ten problém, že zaokrouhlení průměru na jedno místo je příliš málo na danou přesnost určení N A teď pro která další to nesouhlasí, N= 15: 156/15=10.4, ano,ale (156+4)/15=10.67 opět na nic, nebo 155/15=10.33-NE, ale (155+4)/15=10.600-Ano,celkově na nic,takže ani pro N=15 nejde najít odpovídající dvojice. Takže otázka spíš měla být,pro jaká N je tento příklad vůbec proveditelný při epsilon=+-0.05, což je nedostatečná přesnost

MILAN K.

Nevšiml jsem si, omlouvám se to N=14 máte opravdu dobře, N=39 ale nikoliv a mnoho dalších uvnitř také nevyhoví.

Štěpán O.

Ale to, že mnoho čísel uvnitř nevyhoví, mne vůbec netrápí: úloha se ptá pouze na maximum a minimum, nikoliv na interval. Je pravdou, že spočtené odhady (14 a 39) je dobré ověřit, což jsem neudělal. A měl jsem, poněvadž 39 vskutku nevyhovuje, avšak 38 už ano. Ale pak z výpočtu plyne, ty extrémy nemohou být nic jiného, tudíž 14 a 38 jest hledaná odpověď.

MarX

Zdravím. Chtěl bych se zeptat, proč 39 nevyhovuje. Já jsem si to ověřil tak, že jsem dal (39*10,449+4):39=10,551, což je zaokrouhleno 10,6, tudíž by 39 vyhovovalo.

Pošli tvoji otázku Pošli tvoji otázku