Matematika derivace

Author's photo
Mikuláš S.
M

Dobrý den, vrtají mi v hlavě dva vzorce pro derivace.
a) (f(g(x)))´ = f´(g(x))*(g(x))´
b) (f*g)´= f´g+fg´

Pokud vidím v zadání dvě funkce, nedokáži nikdy správně určit, jaký z těchto vzorců použit. Může mi to prosím někdo vysvětlit na příkladu? Narazil jsem na to náhodou při opakování na zápočet, díky:)

Záleží, jestli jde o násobek dvou funkcí (příklad b), nebo zda je jedna funkce součástí té druhé (příklad a). viz foto
Komentáře:
Mikuláš S.
děkujuuuu
To první je derivace složené funkce, kde argument vnější funkce je také funkcí nějakého následného argumentu a ten může být opět nějakou funkcí a složené mohou být vnořením navícekrát, třeba (f1(f2(... fn(x) ..))´, nejen takhle nadvakrát.
Zderivuje se to podobně, jako součin derivací vnější funkce, další vnořené ... až po derivaci argumentu, když tím posledním argumentem bude přímo x, tak je ta derivace automaticky =1, čili podobně, jako elementární funkce, třeba sin (x) ´= (sin x)´* x´= cos x * x´= cos x * 1 = cos x, čili se automaticky "ví" že derivovat x je jako rovnou násobit jedničkou což je totéž, jako ji nepsat, proto se "napřímo" píše (sin x)´= cos x bez dalšího.

To druhé je součin dvou funkcí a jejich derivace, opět, obecně se nemusí jednat jen o součin dvou funkcí, ale více, pak se tam prostřídají všechny kombinace, třeba :
(f1(x) * f2(x) * f3(x))´= f1(x)´ * f2(x) * f3(x) + f1(x) * f2(x)´ * f3(x) + f1(x) * f2(x) * f3(x)´,

Když bude těch funkcí v součinu n kusů, a to vše zderivovat, tak bude (f1*f2*f3*..fn-1*fn)´= f1´ * f2 * f3..* fn-1 * fn + f1 * f2´ * f3*..* fn-1 * fn + f1 * f2 * f3´ *...fn-1*fn + f1 * f2 * f3*...fn-1 * fn´, čili n kusů n-tic.

Čili jedinou funkci zderivovat dá jednu jedinou (to také proto, že f1(x) = také f1(x) * 1, čili také součin dvou funkcí (f1(x) * 1)´= f1(x)´ * 1+f1(x) * 0 = f1(x)´*1 = f1(x)´, dvě funkce v součinu zderivovat dá po derivaci dva kusy dvojic, tři funkce v součinu zderivovat dá po derivaci tři kusy trojic a n kusů funkcí v součinu zderivovat dá po derivaci n kusů n-tic.
Nejčastěji se to učí jen jako součin dvou.
Zpět na seznam otázek
Pošli tvoji otázku

Doučovatelé předmětu M

Hledáš doučování předmětu M? Najdi si správného doučovatele předmětu M pro doučování online nebo osobně ve tvém okolí.
?
Pošli tvoji otázku