1) determinant v N-rozměrném prostoru z geometrického hlediska vlastně představuje obsah hyperrovnoběžnostěnu, takže v E2 tím "hyperrovnoběžnostěnem" je rovnoběžník (kosodélník), daný dvěma vektory a jeho plocha, v E3 je dán třemi vektory a následně jím je objem rovnoběžnostěnu, podobně do vyšších rozměrů, např. v E4 je dán hyperrovnoběžnostěn 4 vektory a tyto zapsány do matice dají determinant, který číselně odpovídá hyperobjemu (hyperobsahu). Triviálně v E1 je tou maticí pouhý skalár a představuje délku (tak více rozměrů v E1 není prostě k mání) .
Dále, když ty vektory budou na sebe kolmé, tak pochopitelně se bude jednat přímo o obsah hyperkvádru, kterým je v E2 obdélník, v E3 kvádr v běžném slova smyslu a v E4 hyperkvádr a podobně do vyšších rozměrů.
A v matici se to projeví následně, na místech příslušných řádkových vektorů budou z důvodů, že ty vektory jsou na sebe kolmé na odpovídajících místech nuly a to způsobí, že hodnota determinantu vyjde stejná, jako součin norem vektorů. Například v E2 máme bod A(1,1), B(5,1) C(1,5). vektor (B-A) =(4,0), vektor (C-A)=(0,4), po zapsání do matice je determinant 4*4-0*0 = 16. Podobně, norma (B-A)=4, norma (C-A)=4 a součin opět 4*4 = 16, Pro kontrolu velikost prvního vektoru * velikost druhého vektoru * sinus sevřeného úhlu (který je roven Pi/2) = 4 * 4 *sin Pi/2 = 16*1 = 16 (plocha "klasicky") . Proto, když vektory nebudou ortogonální, vyjde determinant číselně menší, než samotný součin norem vektorů (protože je ten determinant vlastně umenšený vlivem odchylky vůči pravému úhlu). Ortogonalita těch vektorů se projeví příslušnými nulami v matici, které způsobí, že součin norem vyjde stejný, jako determinant. Tak pochopitelně, kosodélník má vždy menší obsah, než obdélník, kosodélník nemá prostě strany ortogonálně vůči sobě a to samé do vyšších rozměrů v E(N), tedy například v E(3) má rovnoběžnostěn menší objem, než kvádr o stejných stranách, tedy o stejných normách vektorů a to je geometrická interpretace zdůvodnění, proč součin norem vektorů matice je větší, případně nejvýše roven determinantu té matice.