Dobrý den,
1. Pokud (A, +, .) je pole, tak musíme ukázat, že existuje izomorfismus mezi Q(A) a A.

Definujme zobrazení φ: Q(A) -> A takto:
- φ([a]/[b]) = a*b^(-1), kde [a]/[b] je ekvivalence a*b^(-1) je produkt a inverze prvku b.
Jistě platí, že a*b^(-1) je definované, protože A je pole.

Musíme ověřit, že φ je izomorfismus. Nechť [a]/[b] a [c]/[d] jsou libovolné prvky z Q(A), musíme ukázat tři vlastnosti izomorfismu:

1) φ je homomorfismus:
φ(([a]/[b]) + ([c]/[d])) = φ([(a*d + b*c)/ (b*d)]) = (a*d + b*c) * (b*d)^(-1) = a/b + c/d = a*b^(-1) + c*d^(-1) = φ([a]/[b]) + φ([c]/[d])
φ(([a]/[b]) * ([c]/[d])) = φ([(a*c)/ (b*d)]) = (a*c) * (b*d)^(-1) = a/b * c/d = (a*b^(-1)) * (c*d)^(-1) = φ([a]/[b]) * φ([c]/[d])

2) φ je prosté:
φ([a]/[b]) = φ([c]/[d])
a*b^(-1) = c*d^(-1)
a*d = b*c
[a]/[b] = [c]/[d]

3) φ je na:
Pro libovolný prvek a z A, platí že φ([a]/[1]) = a*1^(-1) = a/1 = a. To znamená, že φ je na.

Tím jsme ukázali, že φ je izomorfismus mezi Q(A) a A.

2. Nechť t je transcendentní prvek nad okruhem A. Potřebujeme doložit, že t + 1 je také transcendentní nad A.

Předpokládejme, že t + 1 není transcendentní nad A. To znamená, že existuje nějaký polynom f(x) s koeficienty z A, pro který platí f(t + 1) = 0.

Pak můžeme vyjádřit f(t) pomocí rozvoje do mocninné řady:
f(t + 1) = f(t) + f'(t)*1 + f''(t)*(1^2)/2! + ...
0 = f(t) + f'(t) + f''(t)*1/2! + ...

Nyní nahraďme t pomocí x - 1:
0 = f(x - 1) + f'(x - 1) + f''(x - 1)*1/2! + ...

Definujme g(x) = f(x - 1). Platí, že g(x) je také polynom s koeficienty z A. A z výše uvedené rovnosti vyplývá, že g(t) = 0.

To však odporuje naší původní předpokladu, že t je transcendentní prvek nad A. Tudíž musí být t + 1 také transcendentní prvek nad A.

3. Nechť H, K jsou normální podgrupy grupy (G, .).

Nejprve dokážeme, že H ∩ K je podgrupa grupy G:
- Existuje neutrální prvek e v G, který je neutrálním prvkem v obou H a K.
- Pro libovolné prvky a, b z H ∩ K, musí i jejich inverze a^(-1), b^(-1) být v H ∩ K, protože H a K jsou normální podgrupy a tedy uzavřené na inverze.
- Pro libovolné prvky a, b z H ∩ K, musí i jejich součin a*b být v H ∩ K, protože H a K jsou normální podgrupy a tedy uzavřené na součin.
Tím jsme ukázali, že H ∩ K je podgrupa grupy G.

Dále dokážeme, že H K je podgrupa grupy G:
- Existuje neutrální prvek e v G, který je neutrálním prvkem v obou H a K.
- Pro libovolné prvky h_1, h_2 z H a k_1, k_2 z K, musí i jejich součin (h_1 * k_1) * (h_2 * k_2) být v H K, protože H a K jsou normální podgrupy a tedy uzavřené na součin.
- Pro libovolné prvky h z H a k z K, musí i jejich inverze (h * k)^(-1) = k^(-1) * h^(-1) být v H K, protože H a K jsou normální podgrupy a tedy uzavřené na inverze.
Tím jsme ukázali, že H K je podgrupa grupy G.
Tedy jsme dokázali, že H ∩ K a H K jsou normální podgrupy grupy G.

S dalšími dotazy Vám rád pomohu na standartném doučování. Dle potřeby neváhejte napsat.