U průsečíků máte chybku ve výpočtu, mělo být D=-4*2*(-9)=72, potom vychází x=+-3/√2 a y=√3/√2 (pro oba průsečíky).

Při hledání tečen můžete využít vzorce pro poláru bodu (v případě že bod leží na kuželosečce, je polára právě tečnou v tom bodě) nebo můžete brát parciální derivace, což je mnohem obecnější postup: Platí, že x*df/dx(x₀, y₀) + y *df/dy(x₀, y₀) + c=0, pro vhodnou (jakou?!) hodnotu c, je tečna k f(x,y)=0 v bodě [x₀,y₀]. Odchylku potom počítáte přes skalární součin.

Nakonec typ kuželosečky: kružnice je snad jasná, druhá kuželosečka je speciální případ krásného faktu, že kuželosečka tvaru (…)•(…)=k, kde v každé závorce je rovnice přímky, je hyperbola s asymptotami o rovnicích těch, co jsou v těch závorkách! Rovnici x^2-y^2-3=0 upravíme na (x-y)(x+y)=3.

Postup je správně, ale máš v něm chybu. Diskriminant je 4*2*9=72, x-ové souřadnice tedy vyjdou jako cca +-2,12.

O moc elegantněji to ale skutečně nejde.
Až jak budeš znovu počítat hodnoty pro y, tak doporučuji nevyčíslovat x-ové souřadnice přesně, ale použít odmocniny, ony se stejně při umocnění na druhou ztratí.

Viz níže :

Jednoduše, máte to před očima, průsečíky: stačí sečíst, resp. odečíst rovnice a jsou hned. Dále úhel tečen je rozdíl směrových úhlů tečen alias rozdíl arcus tangent tečen a dále tg směrového úhlu tečen získáte v daném společném průsečíku jako derivace funkce té kružnice a té rovnoosé hyperboly. A v tomhle případě je o dost jednodušší je derivovat jako implicitní funkci, tedy z = f(x,y) = 0 a máte derivaci hned. Tenhle způsob funguje pro jakékoliv křivky, počítat zbytečné diskriminanty netřeba, To funguje jen pro rovinné kvadriky, alias kuželosečky, jinak obecně nepoužitelné. Vždycky se musí pro obecné křivky tyto zderivovat a protože geometrický význam první derivace je směrnice alias tg. tečny, tak i zde, jinak se v tom zamotáte. S derivacemi je to odst přehlednější
Jinak kružnice je také "svého" druhu cosi jako rovnoosá elipsa, jenže s tím velkým rozdílem že zatímco kružnice nejde nijak natočit, bude pořád stejná po přetočení, tak rovnoosá hyperbola pochopitelně coby natočená se bude lišit od základní polohy nestočené. Takže legantní řešení viz níže pomocí derivací zde jajko funkce křivek zadané implicitně (máte je tak dokonce i přímo zadané)

Za všechny odpovědi a postřehy bych Vám rád poděkoval, a za nalezení chyby také - asi jsem do toho prostě koukal už dlouho. Děkuji mockrát.