Tak tvrdit, že danými třemi body, kterými neprochází přímka prochází ale jen rovinná kvadrika typu parabola je dosti chucpe. Ve skutečnosti třemi body může procházet nekonečně mnoho různých křivek, viz níže důkaz, že třeba kružnice, ale i obecně natočená a obecně posunutá elipsa, ale obecně nepřeberně grafů různých funkcí, ne jen rovinných kvadrik ale i křivek vyššího řádu.
Takže pokud nebylo striktně řečeno, že to musí být parabola, tak to může být cokoliv, tak jistě přímka nikoliv, ale to je poněkud odzadu, čili víme, co tím grafem být nemůže, ale z toho vůbec neplyne, a nelze tvrdit, že jen a právě parabola to bude a nic více, nikoliv, třeba zrovna kružnice o středu S [8,-3] a poloměru 10 jednotek a rovnice viz níže. Těmi body může procházet opravdu cokoliv, jen přímka jistě ne.
Komentáře:
David Š.
Jistě, souhlasím s vámi, že funkcí, které mohou procházet 3 body je nekonečně mnoho. Proto je z mého pohledu toto zadání tak nejasné. Úvaha paraboly se zakládá hlavně na tom, že středoškolská matematika se zabývá zejména lineárními a kvadratickými funkcemi. A jelikož z nákresu i z důkazu můžeme odvodit, že na přímce (lineární funkci) body neleží, tak jsem zvolil proklad parabolou. Navíc bohužel Váš nápad s kružnicí není zcela šťastný, protože kružnice nemůže být funkcí.
David Š.
Ovšem děkuji za doplnění. Nechtěl jsem, aby to vyznělo, že není možné body proložit ničím jiným. Jenom je tento příklad označen jako ZŠ, tak jsem se snažil nepoužívat zbytečně příliš pokročilou matematiku. Mám totiž pocit, že nemá smysl příklady řešit, když to stejně nemá žák šanci v jeho ročníku pochopit.
MILAN K.
To se velmi mýlíte, samotná "horní" polovina nebo samotná "dolní" polovina kružnice funkcí je (liší se znaménkem). To se chce pořádně nejprve podívat, že bod B je spolu se středem na rovnoběžce s osou X, čili antibod B´ bude mít souřadnice [18,3].Takže se jedná o horní oblouk a k jednomu každému bodu x odpovídá právě jeden každý bod Y, jako u té Vaší paraboly. Já jsme ji jen zadal implicitně, (princip omezené důvěry). Explicitně ve smyslu funkce bude x = 8 + odmocnina (100 - (y+3)^2)
MILAN K.
Takže je konkávní na intervalu x=-2 , x = 18 a má všude spojité derivace, dokonce je výhodnější je dělat právě z implicitního vztahu, než derivovat odmocniny
MILAN K.
A navíc je zde tzv. "prostá" to znamená že pro každé dva různé argumenty nabývá dvě různé funkční hodnoty.
David Š.
Ano, to určitě máte pravdu. Je ale důležité specifikovat, že není možné brát celou kružnici, ale jen její část. Avšak myslím, že autora otázky již podrobnější diskuze nezajímá a nemá tak smysl to dál pitvat. :)
Ale děkuji za zajímavou debatu - skutečně mě nenapadlo proložení jinými útvary než polynomy různých řádů :)
MILAN K.
tedy do poloviny intervalu (protože je symetrická podle rovnoběžky s Y), jenže nemlich to samé máte s parabolou výše, prostě obojí jsou kvadriky, jen ta Vaše je otevřená, protože to je "bývalá" elipsa, které utekl vrchol do nekonečna, to druhé je uzavřená, vlastně také "elipsa", které ale splynuly ohniska do středu elipsy, a tím se stala středem kružnice.
MILAN K.
Tak zde je to míněno jako funkce jedné proměnné, takže jen "horní" či jen "dolní", ale obecně i celá kružnice je funkcí, totiž, z = f(x,y) = 0, tak když se zadá implicitně, (to je ta rovnice kružnice) tak třetí souřadnice je = 0 a tím je celý graf celé kružnice (obě poloviny) a i to je funkce jako dvou proměnných . Tak nakonec a ta parabola se dá zapsat implicitně a 1. derivace implicitně je triviální.
doučuji.eu
