Jeden způsob je řešit soustavu rovnic, kde prostě vezmete obecnou rovnici elipsy a rovnice přímek. Průnik elipsy s každou z přímek bude dán kvadratickou rovnicí a podmínka, že se “dotýkají”, bude znamenat, že hledáte, kdy má tato rovnice jediné řešení, t.j. kdy je diskriminant nulový.
Níže přikládám jiný postup, kde elipsu deformujeme na kružnici změnou souřadnic a využijeme toho, že tečny ke kružnici mají jednoduchý popis, konkrétně jsou kolmé na poloměr kružnice v bodě doteku.

Další způsob je přes vyjádření postupně obou tečen ve tvaru x = ... vyjádření dosadíme do rovnice elipsy, vyjádříme diskriminant a ten dáme roven 0. To samé s oběma tečnami. Na závěr dostáváme soustavu dvou rovnic (diskriminant s dosazenou první tečnou, diskriminant s dosazenou druhou tečnou) o dvou (a, b) neznámých. Čísla vycházejí samozřejmě vysoká, ale z pohledu druhých mocnin celých čísel sympatická.

Maticově zapsané, kdy se vyjádří vektor normály dané přímky pomocí jednotkového vektoru normály, v němž jsou zavedením polárních souřadnic bodů elipsy zapsané prozatím neznámé velikosti poloos, které umožní sestavit rovnice pro jejich vyřešení, kde absolutní člen, pomocí kterého je to dosaženo je obsažen v rovnici přímky. Dva vektory normály dvou různých přímek, takto zapsané jsou nutné pro výpočet poloos, když známe směr jejich natočení vůči S(XY) a umístění středu. Jinak pochopitelně do takových přímek může být "vetknuta" i excentricky umístěná a navíc natočená elipsa vůči S(X,Y) a pak by dvě přímky na vyřešení nestačily, další neznámé by byly dvě souřadnice středu elipsy a jeden úhel natočení poloos.