Tak především konverguje k funkci f(x) = 0 na celé reálné ose, jelikož sin v čitateli je v absolutní hodnotě omezený 1 , ta násobená třemi a odečtená od 1 čili se čitatel pohybuje v mezích 1 -3 *abs (+-1) a jmenovatel jde do nekonečna, pak limita toho výrazu, když n jde k nekonečnu je 0, Jak je to se stejnoměrnou konvegencí, tak přes suprémum
vyjde, že konverguje stejnoměrně, zkuste podle tohoto "trochu" podobného příkladu , zde také je funkce, co mění znaménko a v absolutní hodnotě je 1 a konverguje stejnoměrně. Problém je hlavně s derivacemi těchto funkcí . Prostě mohou být funkce, které konvergují stejnoměrně na kterémkoliv intervalu v kladné poloose, ale jejich derivace nekonvergují na žádném takovém intervalu dokonce ani ne bodově.
Prostě pořádně se to naučte odtud :https://math.fel.cvut.cz/cz/mt/txte/3/txc3ec3c.htm ,to je jedna z nejlepších literatur k tomuto
(Z toho přiloženého obrázku je vidět, co se odehrává, prostě ta funkce ze vzorového příkladu se nezadržitelně mění v e^(x/4) , čím jsou ty sinové vlny "štíhlejší")

Označme s_n = sup( |f_n| ) (berme supremum přes nějaký interval I ⊆ R). Weierstrassovo kritérium zní: Pokud konverguje řada ∑s_n, pak ∑f_n konverguje stejnoměrně na I.
Ve Vašem příkladu s_n <= 4/(2n-1)⁵ pro I =R, protože sin se pohybuje mezi -1,+1. Jelikož ∑4/(2n-1)⁵ konverguje (dejte vědět kdyby Vám toto nešlo ověřit), Vaše řada konverguje stejnoměrně na celém R.

V tomto případě limitní funkce není kombinací standardních funkcí a nemáte ji vůbec hledat!